Capitulo III.14. Fundamentos de la teoría de Maxwell

§ III.14.1. Característica general de la teoría de Maxwell

     1o. Se da el nombre de teoría de Maxwell a la teoría consecuente del campo electromagnético único (III.2.1.2o)  que genera un sistema arbitrario de cargas y corrientes. En la teoría de Maxwell se resuelve el problema fundamental de la electrodinámica: dada la distribución de la cargas y corrientes, buscar las características de los campos eléctricos y magnéticos generados por ella. La teoría de Maxwell es la generalización de las leyes más importantes que definen los fenómenos eléctricos y electromagnéticos, como son el teorema de Ostrogradski – Gauss (III.5.3.3o), la ley de corriente total (III.13.4.2o) y la ley de la inducción electromagnética (III.12.1.3o).

     2o. La teoría de Maxwell tiene carácter fenomenológico. Esto se manifiesta en que en ella no se estudia el mecanismo intrínseco de los fenómenos que tiene lugar en el medio y que hacen que aparezcan los campos eléctricos y magnéticos: la permitividad relativa ε (III.5.3.4o), la permeabilidad magnética relativa µ (III.13.4.5o) y la conductividad eléctrica γ (III.7.3.4o).

     3o. En la teoría de Maxwell se estudian los campos macroscópicos que general las cargas y corrientes macroscópicas concentradas en volúmenes inconmensurablemente mayores que los volúmenes de los átomos y las moléculas. Se supone que las distancias desde la fuentes de los campos hasta los puntos que se consideran en el espacio son mucho mayores que las dimensiones de los átomos y de las moléculas. Por esto los campos macroscópicos solo varían sensiblemente a distancias enormes en separación con las dimensiones lineales de los átomos (o moléculas). Además, los periodos de variación de los campos eléctricos y magnéticos alternativas se consideran mucho mayores que los periodos de los procesos intramoleculares.

     4o. Las cargas y corrientes  macroscópicas son conjuntos de cargas y corrientes macroscópicas que generan sus microcampos (eléctricos y magnéticos), los cuales varían continuamente en función del tiempo en cada punto del espacio.

     Los campos macroscópicos considerados en la teoría de Maxwell son microcampos promediados. El promedio de los microcampos se hace según intervalos de tiempo mucho mayores que los periodos de los procesos intraatómicos y según volúmenes de campos muy superiores a los de los átomos y moléculas (III.14.4.5o).

     5o. La teoría de Maxwell es una teoría de acción próxima, de acuerdo con la cual las interacciones eléctricas y magnéticas tienen lugar en campos eléctricos y magnéticos y se propagan con velocidad finita, igual a la velocidad de la luz en un medio dado. Este importante resultado se tiene en cuenta en la teoría electromagnética de la luz, creada por Maxwell.

§ III.14.2. Primera ecuación de Maxwell

     1o. La primera ecuación de Maxwell en forma integral es la generalización de la ley de inducción electromagnética de Faraday de la forma (III.12.1.6o):

     Según Maxwell, esta ley es válida no solo para un circuito conductor, sino también para cualquier circuito cerrado elegido mentalmente en un campo magnético alternativo. Esto significa que el campo magnético alternativo genera en cualquier punto del espacio un campo eléctrico rotacional independientemente de que en dicho punto se encuentre o no un conductor.

     2o. Si se aplica la expresión del flujo magnético (III.10.5.4o).

y el teorema de Stokes del análisis vectorial: , donde dS = dS n (n es el vector unidad de la normal a la superficie elemental dS) y se puede pasar a la primera ecuación de Maxwell del p. 1o a la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial:

                 (en el SI),

                    (en el sistema de Gauss),

Aquí  rot E en coordenadas cartesianas se expresa por el determinante siguiente:

     3o. La creación de un campo eléctrico rotacional es el espacio, bajo la influencia del campo magnético alternativo, se utiliza en el acelerador de electrones del tipo de inducción (III.11.4.2o), llamada betatrón.

     El campo magnético alternativo de un electroimán con piezas polares cónicas A y C  (Fig. III.14.1)  hace que en la cámara de aceleración en el vació D, en forma de anillo cerrado, se genere un campo eléctrico rotacional. Las líneas de intensidad (III.1.1.5o) de este campo eléctrico rotacional  se encuentran en el plano MN, perpendicular al eje 00’ de simetría de las piezas polares, y tienen forma de circunferencia con centro en el punto K. En todos los puntos de cualquiera de esas circunferencias, el vector intensidad E tiene un valor numérico constante y su dirección es tangencial a la circunferencia. Los electrones se mueven en la cámara de aceleración describiendo trayectorias circulares. Si un electrón recorre muchas veces una orbita circular estable, el mismo se acelera basta adquirir gran energía.

     4o. La intensidad E del campo eléctrico rotacional del betatrón es

donde Bes el valor medio de la inducción magnética en el instante t,  dentro de los limites de  la orbita circular del electrón, cuyo radio el r.

     La  condición de estabilidad de la orbita del electrón en el betatrón es , donde B es el valor de la inducción magnética en la orbita.

     La orbita del electrón en el betatrón es estable si:

     a) toda ella se encuentra en un plano. Esta condición se llama enfoque axial y se consigue confiriendo una forma especial a las piezas polares, la cual asegure el debilitamiento gradual del campo magnético en dirección del centro de la orbita en su periferia;

     b) está asegurando el retorno a la orbita estable de los electrones que casualmente se desvían en ella (condición de enfoque radial) esto se logra distribuyendo espacialmente el campo magnético,  de tal modo que la inducción magnética disminuya del eje a la periferia de la orbita, con más lentitud que  1/r; donde r es la distancia desde el punto considerado del campo hasta el eje de simetría 00’.

§ III.14.3. Corriente de desplazamiento. Segunda ecuación de Maxwell

     1o. Maxwell generalizo la ley de la corriente total ((III.13.4.2o) y (III.13.4.4o)) suponiendo que el campo eléctrico alternativo, lo mismo que la corriente eléctrica, es la fuente del campo magnético.  La medida cuantitativa de la acción magnética del campo eléctrico alternativo es la corriente de desplazamiento.

     2o. La densidad de la corriente de desplazamiento (III.7.2.3o) constituye

     Se denomina corriente de desplazamiento a través de una superficie arbitraria S, la magnitud física numéricamente igual al flujo del vector densidad de la corriente de desplazamiento a través de esta superficie:

             

donde  es el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de la superficie S (III.2.3.2o).

     Teniendo en cuenta las corrientes de desplazamiento, todas las corrientes de desplazamiento «pasan» por las zonas donde no hay conductores, por ejemplo, entre las armaduras de un condensador durante su carga o descarga. En la Fig. III.14.2 se muestran los vectores j_despl y las líneas de inducción de los campos magnéticos de las corrientes de desplazamiento durante la carga (III.14.2,a) y la descarga (III.14.2,b) de un condensador.

3o. Según (III.5.3.4o), en cualquier dieléctrico el vector desplazamiento constituye

D = E + P_e              (en el SI)

D = E + 4πP_e  (en el sistema  CGS),

donde P_e es el vector polarización (III.5.2.2o).

     La densidad de la corriente de desplazamiento en un dieléctrico es

     En estas ultimas formulas, el primer termino  (o, respectivamente, ) se llama densidad de la corriente de desplazamiento en el vació, y el segundo, , es la densidad de la corriente de la polarización. Este segundo termino representa la densidad de la corriente debido al desplazamiento ordenado de las cargas en el dieléctrico, es decir, al desplazamiento de las cargas en las moléculas del dieléctrico neutro (III.5.1.3o) o el giro de los dipolos en los dieléctricos polares (III.5.1.5o). La corriente de desplazamiento en el vacío y en los metales no produce calor de Joule (III.8.2.6o); esto la distingue de las corrientes  de conducción.

     La corriente de polarización esta relacionada con la perdida de energía en el dieléctrico durante el proceso de su polarización, y produce calor de Joule.

     4o. Maxwell anadió al segundo miembro de la ley de la corriente total en la forma (III.13.4.4o), la corriente de desplazamiento y escribió esta ley así:

                                

A esta ecuaciones le da el nombre de segunda ecuación Maxwell forma integral. Ella demuestra que la circulación del vector intensidad del campo magnético, siguiendo en contorno cerrado cualquiera L, es igual a la suma algebraica de las macrocorrientes y de la corriente de desplazamiento a través de la superficie que se extiende sobre este contorno.

     5o. Valiéndose del teorema de Stokes del análisis vectorial:  donde  dS = n dS, y n es el vector unidad de la normal a la superficie elemental dS. Por lo tanto de la expresión de la corriente total,

se puede escribir la segunda ecuación de Maxwell en forma diferencial:

                                       

En estas ecuaciones, rot H tiene el mismo sentido que rot E en (III.14.2.2o).

     6o. En ausencia de corrientes de conducción (j = 0), las ecuaciones primera y segunda de Maxwell tiene forma simétrica con una exactitud de hasta el signo del segundo miembro de las ecuaciones primera y segunda:

                              

     De la comparación de las ecuaciones de Maxwell*) se sacan las siguientes conclusiones:

     a) Los campos eléctrico y magnético estas relacionadas entre si: la variación del campo eléctrico en función del tiempo hace que se produzca un campo magnético**). A su vez, un campo magnético alternativo es fuente de campo eléctrico rotacional.

     b)  La diferencia de signos de los segundos miembros de las ecuaciones de Maxwell se halla en concordancia con la ley de conservación de la energía y la ley de Lenz (III.12.1.4o). Si los signos    fueran iguales,  el incremento infinitesimal de uno de los campos acarrearía  un aumento ilimitado de ambos, la disminución infinitesimal de uno de los campos conduciría a la completa desaparición de ambos. La diferencia indicada de signos de los segundos miembros de la ecuación de Maxwell es condición necesaria para la existencia de un campo electromagnético estable.

     Las diferencias de signos de los segundos miembros  de las ecuaciones de Maxwell corresponden a que los sentidos de  y H forman un sistema «helicoidal dextrógiros» (Fig. III.14.3,a), y los sentidos de  y E originan un sistema «helicoidal levógiros» (III.14.3,b).

     *) La numeración de las ecuaciones de Maxwell es convencional y también suele encontrarse la inversa de la adoptada en este prontuario.

    **) El campo magnético siempre es rotacional (III.10.5.3o).

§ III.14.4. Sistema completo de ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético

     1o. El sistema completo de ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético incluye, además de las ecuaciones estudiadas en (III.14.2.1o y 2o) y (III.14.3.4o y 5o), el teorema de Ostrogradski – Gauss para el campo eléctrico (III.5.3.3o).

y este mismo teorema para el campo magnético (III.10.5.6o):

     Maxwell supuso que el teorema para el flujo del vector desplazamiento del campo eléctrico es correcto no solo para el campo electroestático estacionario, sino también para el campo eléctrico alternativo.

     2o. Valiéndose del teorema de Gauss del análisis vectorial se puede, introduciendo la densidad volumétrica de cargas libres  (dV es el elemento de volumen), obtener la tercera ecuación de Maxwell en forma diferencial:

en estas formulas, div A (donde A es un vector arbitrario) se determina en coordenadas cartesianas del modo siguiente:

donde A = A_x i + A_y j + A_z k e i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas.

     3o. El sistema completo de ecuaciones de Maxwell incluye cuatro ecuaciones:

     4o. El sistema de ecuaciones de Maxwell se completa con las ecuaciones que caracterizan las propiedades eléctricas y magnéticas del medio,. Para un medio isótropo, en el caso de macrocorrientes que cumplen la ley de Ohm (III.7.3.4o), estas ecuaciones tienen la forma:

Aquí y  son, respectivamente, las constantes eléctrica y magnética en el SI (III.1.2.5o) y (III.10.5.2o); , respectivamente, la permitividad relativa y la permeabilidad magnética relativa; y γ, la conductividad eléctrica.

     Para resolver el sistema de ecuaciones de Maxwell hay que conocer también las condiciones de frontera para los vectores que caracterizan el campo electromagnético:

donde σ es la densidad superficial de las cargas eléctricas libre; n, el vector unidad de la normal a la superficie de separación, dirigido del medio 2 al medio 1; t, el vector unidad de la tangente a dicha superficie; y j_sup, la proyección del vector densidad de corriente de conducción superficiales sobre la dirección [tn].

     Cuando se dan las condiciones de frontera y las condiciones iniciales, es decir, conociendo los valores de los vectores E, H en el instante inicial t = 0, el sistema de ecuaciones de Maxwell tiene una sola solución.

     5o. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes respecto de las transformaciones de Lorentz (I.5.3.2o).

     En la teoría especial de la relatividad (TER) (I.5.1.1o) se demuestra que el campo electromagnético único se manifiesta de modo diferente en distintos sistemas inerciales de referencia (I.2.1.2o). En particular, uno de los campos —el eléctrico o el magnético— puede estar ausente en un sistema de coordenadas y presente en otro. Las formulas de las transformaciones de Lorentz para las componentes, según los ejes de los vectores E, H, D y B de los campos eléctrico y magnético cuando se pasa de un sistema inercial en reposo K a un sistema K’ que se mueve con respecto a K uniforme y rectilíneamente a lo largo del eje OX con velocidad V, son en el SI:

en el sistema de Gauss:

     6o. El siguiente desarrollo de la teoría del campo electromagnético de Maxwell fue la teoría clásica de Lorentz. Esta teoría partía de determinadas representaciones simuladas de estructura de la substancia: se consideraba que los átomos estan formados por partículas cargadas negativas y positivas y toda la diversidad de los fenómenos eléctricos y magnéticos se explica por una determinada disposición, movimiento e interacción de las cargas y las microcorrientes. En todo punto del espacio existen ciertos microcampos eléctrico y magnético, de intensidades e y h, los cuales son resultados del conjunto de las acciones de todas las cargas y micro corrientes. Los microcampos se subordinan a un sistema de ecuaciones análogas a las de Maxwell (p.3o). la toma del valor medio de las ecuaciones de la teoría electrónica (III.14.1.4o) permite pasar a las ecuaciones de Maxwell para los campos macroscópicos E y B (III.14.1.3o), los cuales resultan ser iguales a los valores medios de los microcampos e y h:

     Los vectores D y H resultan estar relacionadas con por medio de los vectores polarización P_e (III.5.2.3o) e intensidad de magnetización j (III.13.3.1o) como se indica en (III.5.3.4o) y (III.13.4.4o):

 

Nidia Elena Sierra Mora

Jonathan Yesid Henríquez Salcedo

Guillermo Andrés Barajas Hernández