Capítulo I.4.         Dinámica del movimiento de rotación

§ I.4.1. Momento de fuerza y momento de impulso

     1°. Para caracterizar la acción mecánica externa ejercida sobre un cuerpo que hace que varíe su movimiento de rotación, se introduce el concepto de momento de fuerza. Se hace distinción entre momento de fuerza con respecto a un punto fijo y con respecto a un eje fijo.

     El momento de una fuerza F con respecto a un punto fijo O (polo) es una magnitud vectorial M igual al producto vectorial el radio vector r trazado desde el punto O al punto A de aplicación de la fuerza (fig. 1.4.1), por el vector de la fuerza F:

     El módulo del momento de la fuerza es M = Fr sena=Fl  donde a es el ángulo entre los vectores r y F, y l = r sena   es la longitud de la perpendicular OB (fig. 1.4.1) bajada desde el punto O a la línea de acción de la fuerza. La magnitud I se llama brazo de la fuerza con respecto al punto O. Si el punto de aplicación de la fuerza F se traslada a lo largo de su línea de acción, el momento M de la fuerza con respecto a un mismo punto fijo O, no varía.         Si la línea de acción de la fuerza pasa por el punto O, el momento de la fuerza con respecto a este punto es nulo.

     2°. Se llama momento resultante de un sistema de fuerzas con respecto a un punto, fijo O (polo), el vector M igual a la suma geométrica de los momentos de las n fuerzas del sistema con respecto al punto O:

donde r! es el radio vector trazado desde el punto O al punto de aplicación de la fuerza F_i

De la tercera ley de Newton (I.2.5.1°) se deduce que los momentos, respecto del polo O, de las fuerzas internas de interacción de los puntos materiales del sistema, se compensan de dos en dos:. Por consiguiente, al calcular el momento resultante de las fuerzas hay que tener en cuenta solamente las fuerzas externas que actúan sobre el sistema mecánico que se considera.

     3°. Se da el nombre de momento de una fuerza F con respecto a un eje fijo a a una magnitud escalar M_a igual a la proyección sobre este eje del vector M del momento de la fuerza F con respecto a un punto arbitrario O del eje a. El valor del momento M_a  no depende de la posición que se elija del punto O sobre el eje a.

     Observación. A veces se entiende por momento de una fuerza con respecto a un eje fijo a la magnitud vectorial M_a =  M_ai_a, donde i_a es el versor del eje a. El vector M_a es la componente del vector M del momento de la fuerza respecto del polo O, dirigida a lo largo del eje a.

     Si la línea de acción de la fuerza corta el eje o es paralela a él, el momento de la fuerza con respecto a este eje es nulo.

     Sea A el punto de aplicación de la fuerza F, y O_1; la base dela perpendicular bajada desde el punto A al eje considerado OZ (fig. 1.4.2). La fuerza F conviene descomponerla en tres componentes perpendiculares entre si: una axial F_z, paralela al eje, otra radial F_n, dirigida a lo largo del vector, y una tercera F_τ  dirigida perpendicularmente al eje y al vector. El momento de la  fuerza F con respecto al eje OZ es

  

     Como los vectoresy F_τ son perpendiculares entre sí,

El momento resultante, con respecto a un eje fijo a, de un sistema de fuerzas, es igual a la suma algebraica de los momentos, con respecto a este eje, de todas las fuerzas del sistema.

     4°. Se llama momento del impulso (o momento de la cantidad de movimiento) de un punto material con respecto a un punto fijo O (polo), el vector L igual al producto vectorial del radio vector r trazado desde el polo O al lugar enque se encuentra el punto material, por el vector p de su impulso:

donde m y v son, respectivamente, la masa y la velocidad del punto material.

     Recibe el nombre de momento del impulso de un sistema con respecto a un punto fijo O, la suma geométrica L de los momentos de los impulsos, con respecto a este mismo punto O, de todos los puntos materiales del sistema:

en la que m_i, r_t y v_i son, respectivamente, la masa, el radio vector y la velocidad del i-ésimo punto material, y n es el numero total de estos puntos que hay en el sistema.

     El momento del impulso de un sistema con respecto a un eje fijo a es la magnitud L_a igual a la proyección sobre este eje del vector L del momento del impulso del sistema con respecto a un punto cualquiera O perteneciente al mismo eje:

La elección que se haga de la posición del punto O en el eje a no influye en el valor numérico de L_a.

     Observación. Algunas veces se entiende por momento del impulso de un sistema con respecto a un eje fijo a, la magnitud vectorial L_a = L_ai_a, en la que i_a es el versor del eje a.

     5°. El momento del impulso de un cuerpo con respecto a un punto fijo O, alrededor del cual gira el cuerpo con la velocidad angular ω, es:

donde r es el radio vector trazado desde el punto O a un pequeno elemento del cuerpo de masa dm, y es la velocidad de este elemento. Como, las direcciones de los vectores L y  w, en el caso general, no coinciden:

     El momento del impulso de un cuerpo sujeto a un punto O y su velocidad angular coinciden en dirección si el cuerpo gira alrededor de uno de sus ejes de inercia principales en el punto O (I.4.2.4^o)

siendo J el momento de inercia del cuerpo (I.4.2.1°) con respecto a este eje principal.

     6°. Los valores M y M* del momento resultante de un sistema de fuerzas con respecto a dos puntos fijos distintos O y O* están ligados por la relación

en la que r* es el radio  vector trazado desde el origen O al punto O *, y F es el vector resultante del sistema de fuerzas considerado. Si F = O, entonces el momento resultante del sistema de fuerzas es el mismo con respecto a cualquier punto fijo: M* = M. Precisamente esta propiedad la tiene el par de fuerzas, es decir, el sistema de dos fuerzas iguales numéricamente entre sí y dirigidas a lo largo de dos rectas paralelas en sentidos opuestos. La distancia más corta d entre las líneas de acción de las fuerzas del par se llama brazo del par. El momento de un par de fuerzas está dirigido perpendicularmente al plano en que se hallan las fuerzas, y su modulo es M = Fd, siendo F el módulo de cada una de las fuerzas del par.

     El momento resultante M_c, respecto del centro de inercia C de un sistema mecánico (I.2.3.3°), de todas las fuezas que actúan sobre dicho sistema, está ligado con el momento resultante M de este mismo sistema de fuerzas con respecto a un punto fijo O, por la relación

en la que r_C es el radio vector trazado desde el origen O al punto C, y f es el vector resultante del sistema de fuerzas.

     7°. Los valores del momento del impulso de un sistema mecánico respecto de su centro de inercia C para el  movimiento absoluto de los puntos con las velocidades v_i (es decir, con relación a un sistema inercial de referencia fijo) y para su movimiento relativo con las velocidades v’_i = v_i — v_C (o sea, con respecto al sistema de referencia con origen en el punto C, animado de movimiento de traslación), son iguales:

donde r_i = r_i — r_C es el radio vector del í-ésimo punto en el sistema de referencia que se mueve junto con el centro de inercia. La relación entre los valores del momento del impulso del sistema mecánico L, respecto del punto fijo O, y L_c, respecto del centro de inercia, tiene la forma

siendo m_iv_i el impulso del sistema en su movimiento absoluto.

§ I.4.2. Momento de inercia

     1°. Se llama momento de inercia de un sistema mecánico con respecto a un eje fijo a, la magnitud física J_a igual a la suma de los productos de las masas de los n puntos materiales que componen el sistema, por los cuadrados de sus distancias al eje:

donde m_i y son, respectivamente, la masa del i-ésimo punto material y su distancia al eje.

     El momento  de inercia de un cuerpo

en esta igualdad dm = D dV es la masa de un pequeno elemento de volumen dV; D, la densidad, y p, la distancia del elemento dV al eje a.

     Si el cuerpo es homogéneo, es decir, si la densidad es igual en todas sus partes, entonces

     El momento de inercia de un cuerpo J_a es la medida de la inercia del mismo en el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo a (I.4.3.4°), de un modo semejante a comerla masa del cuerpo es la medida de su inercia en el movimiento de traslación.

     2°. El momento de inercia de un cuerpo dado con relación a un eje cualquiera depende no sólo de la masa, de la forma y de las dimensiones del cuerpo, sino también de su posición con respecto a dicho eje. De acuerdo con el teorema de Steiner (sobre la traslación de los ejes de inercia), el momento de inercia J de un cuerpo con relación a un eje arbitrario es igual a la suma del momento de inercia J_c de este cuerpo con respecto al eje que pasa por su centro de inercia y es paralelo al eje considerado, y del producto de la masa del cuerpo m por el cuadrado de la distancia d entre dichos ejes:

     3°. Momentos de inercia en los cuerpos homogéneos de formas más simples, respecto de algunos ejes (tabla 1.4.1).

Tabla1.4.1

     4°. Reciben el nombre de momentos de inercia centrífugos de un cuerpo con relación a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas   rectangulares,   las  magnitudes siguientes:

en las que x, y y z son las coordenadas de un pequeno elemento del cuerpo de volumen dV, densidad D y masa dm.

     El eje OX se llama eje principal de inercia del cuerpo, si los momentos centrífugos de inercia J_xy y J_xz son nulos simultáneamente.  Por cada punto de un cuerpo se pueden trazar tres ejes de inercia principales. Estos ejes son perpendiculares entre sí. Los momentos de inercia del cuerpo con respecto a los tres ejes de inercia principales, trazados por un punto arbitrario O de dicho cuerpo, se llaman momentos de inercia principales del cuerpo.

     Los ejes de inercia principales que pasan por el centro de inercia del cuerpo reciben el nombre de ejes centrales principales de inercia del cuerpo, y los momentos de inercia del cuerpo con respecto a estos ejes se dice que son sus momentos centrales principales de inercia. El eje de simetría de un cuerpo homogéneo es siempre uno de sus ejes de inercia centrales principales.

§ I.4.3. Ley fundamental de la dinámica del movimiento de rotación

     1°. De las leyes de Newton se deduce que la primera derivada respecto del tiempo t del momento del impulso L de un sistema mecánico con relación a cualquier punto fijo O es igual al momento resultante M^ext, respecto del mismo punto O, de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema:

Esta ecuación expresa la ley de variación del momento del impulso de un sistema. Esta ley es válida, en particular, para un sólido sujeto con articulación en un punto O en torno al cual gira. En este caso la ecuación anterior expresa la ley fundamental de la dinámica del sólido que gira alrededor de un punto fijo.

     En proyecciones sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares fijo con origen en el punto O, la ley de variación del momento del impulso del sistema se escribe en la forma

Aquí L_x, L_y, L_z y M_x^ext, M_y^ext, M_z^ext, son, respectivamente, los momentos del impulso del sistema y los momentos resultantes de las fuerzas externas respecto de los respectivos ejes de coordenadas.

     2°. Ejemplo. Precesión regular de un giróscopo bajo la acción de su gravedad. Se llama giroscopio o giróscopo (simétrico) un sólido simétrico que gira rápidamente alrededor de un eje de simetría, el cual puede variar su dirección en el espacio. El giróscopo tiene tres grados de libertad (I.1.5.6°) si está sujeto a un punto fijo perteneciente a su eje y llamado centro de sus- pensión del giróscopo. Si el centro de suspensión coincide con elcentro de gravedad C del giróscopo, se dice que éste está equilibrado o que el giróscopo es astático: la acción que sobre él ejerce la gravedad no provoca variaciones en su estado de rotación. En el caso contrario el giróscopo se llama pesado (fig. 1.4.3). Bajo la acción del momento de la fuerza de gravedad respecto del punto O,

el giróscopo pesado da vueltas alrededor de este punto de tal manera que su eje OZ' gira uniformemente alrededor del eje vertical OZ describíante la superficie cónica que muestra la fig. 1.4.3 con trazos. Este movimiento del giróscopo se llama precesión regular.

Si la velocidad angular de la precesión ( es la velocidad angular de la rotación propia del giróscopo alrededor del eje de simetría OZ'), se puede considerar aproximadamente que el momento del impulso del giróscopo L con respecto al punto O está dirigido a lo largo de su eje OZ' y es igual a

donde J es el momento de inercia del giróscopo con relación al eje OZ'. Por esto

siendola  velocidad   angular   de   precesión,  en el caso representado en la fig. 1.4.3. Cuanto mayor es la velocidad angular de la rotación propia del giróscopo, tanto más lenta es su precesión.

     3°. La energía cinética de un sólido que gira alrededor de un punto fijo con la velocidad angular o es

donde J es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje instantáneo de rotación (I.1.5.6°).

     El trabajo elemental realizado durante un pequeno intervalo de tiempo dt por la fuerza F que actúa sobre el cuerpo es

en esta expresión,es el momento de la fuerza F con relación al punto O (r es el radio vector trazado desde O al punto de aplicación de la fuerza F), y son el ángulo de rotación y el vector de rotación elemental del cuerpo durante el tiempo dt, y M_w es el momento de la fuerza F respecto del eje instantáneo de rotación del cuerpo, igual a la proyección del vector M sobre la dirección del vector _w.

El incremento de la energía cinética del sólido durante el tiempo dt es igual al trabajo de las fuerzas externas:

donde  es el momento resultante de las fuerzas externas respecto del eje instantáneo de rotación del cuerpo (I.4.1.3°).

     4°. Si el sólido gira alrededor del eje OZ con velocidad angular , su momento de impulso con relación a este eje

Aquí J_z es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje OZ, que no varía con el tiempo (J_z = const), y  (, si los vectores y el versor del eje OZ coinciden en dirección,  y  en el caso contrario).

     La ley fundamental de la dinámica del sólido que gira alrededor de un eje fijo OZ es:

siendo la aceleración angular del cuerpo.

     De la última fórmula se deduce que el momento de inercia del sólido respecto a cualquier eje fijo es la medida de la inercia de dicho sólido que gira alrededor de ese eje: cuanto mayor sea el momento de inercia del cuerpo, tanto menor será la aceleración angular que adquiere bajo la acción de un mismo momento de las fuerzas externas.

     5°. La energía cinética del sólido que gira alrededor de un eje fijo OZ con la velocidad angular, es

     El trabajo elemental que realiza durante un pequeno intervalo de tiempo dt la fuerza F aplicada al cuerpo es

donde M_z es el momento de la fuerza F con respecto al eje de rotación OZ (el versor del eje OZ coincide en dirección con el vector w).

     El incremento de la energía cinética del sólido durante el tiempo dt es igual al trabajo de las fuerzas externas:

siendo M_z^ext el momento resultante de las fuerzas externas respecto al eje de rotación del cuerpo.

     6°. El movimiento de un sólido Ubre satisface las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

Aquí m es la masa del cuerpo; v_c, la velocidad de su centro de inercia C; F^ext, el vector resultante de las fuerzas externas aplicadas al cuerpo (I.2.5.2°); M^ext, el momento resultante de las fuerzas externas respecto del punto C (I.4.1.6°), y l_c es el momento del impulso del cuerpo con relación a este mismo punto C (I.4.1.7°). La primera ecuación describe el movimiento de traslación del cuerpo libre con la velocidad de su centro de inercia (I.2.5.3°). La segunda ecuación se deduce de la ley de variación del momento del impulso (I.4.3.1°) y define la rotación del sólido alrededor de su centro de inercia (I.1.5.9°).

     7°. La energía cinética de un sólido libre puede hallarse basándose en el teorema de Koenigs (I.3.2.4°);

en el que J_C es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje instantáneo de rotación que pasa por su centro de inercia C, y w es la velocidad angular  del cuerpo. En el caso general el eje instantáneo se desplaza en el cuerpo, y  el momento de inercia J_C varía con el tiempo. La magnitud J_C permanece constante si el movimiento del cuerpo es plano (I.1.5.9°).

     Ejemplo. Energía cinética de un cilindro circular homogéneo que rueda por un plano inclinado sin deslizamiento. El movimiento del cilindro es plano: todos sus puntos se mueven en planos verticales paralelos entre sí. El cilindro está animado de movimiento de traslación con la velocidad v_c dirigida a lo largo del plano inclinado, y gira alrededor de su eje (J_C = mR²/2, siendo m y R, respectivamente, la masa y el radio del cilindro) con velocidad angular w. De la condición de ausencia de deslizamiento se deduce que la velocidad instantánea de los puntos de contacto del cilindro con el plano inclinado es nula, es decir, w = v_C/R. Por esto la energía cinética del cilindro que rueda es:

§ I.4.4. Ley de conservación del momento de impulso

     1°. Ley de conservación del momento de impulso: el momento del impulso de un sistema cerrado (I.2.2.4°) respecto
de cualquier punto fijo no varía con el tiempo, es decir,

     Respectivamente, el momento del impulso de un sistema cerrado respecto de su centro de inercia (I.4.1.7°) no varía con el tiempo:

.

     De un modo semejante a las leyes de conservación del impulso y de la energía, la ley de conservación del momento de impulso rebasa los límites de la mecánica clásica. Esta ley es una de las más fundamentales de la física, ya que está relacionada con una propiedad determinada de la simetría del espacio, su isotropía. La isotropia del espacio se  manifiesta en que las propiedades físicas y las leyes del movimiento de un sistema cerrado no dependen de las direcciones que se elijan de los ejes de coordenadas del sistema inercial de referencia, o sea, no varían cuando el sistema cerrado en conjunto gira a un ángulo cualquiera en el espacio.

     De acuerdo con las ideas memoradas, pueden tener momento de impulso no sólo las partículas y los cuerpos, sino también los campos, y las partículas elementales y los sistemas construidos con ellas (por ejemplo, los núcleos atómicos) pueden poseer un momento de impulso no relacionado con su movimiento en el espacio, que recibe el nombre de espín (tabla VIII.2.1).

     2°. Con arreglo a los sistemas que describe la mecánica clásica (newtoniana), la ley de conservación del momento de impulso se puede considerar como una consecuencia de las leyes de Newton. Para un sistema mecánico cerrado, el momento resultante de las fuerzas externas respecto de un punto fijo cualquiera (y también con relación al centro de inercia del sistema) es idénticamente igual a cero: M^ext = 0 (y respectivamente M_C^ext = 0, véase (I.4.1.6°), donde F = F^ext = 0), y de (I.4.3.1°) se deduce la ley de conservación del momento de impulso:

donde m_i, r_i y v_i son, respectivamente, la masa, el radio vector y la velocidad del i-ésimo punto material del sistema compuesto de n puntos como éste.

     Respectivamente (véase   1.4.1.7° y 1.2.5.3°),

siendo r’_i = r_i — r_C, v’_i = v’_i — v_C, y r_C y v_C son el radio vector y la velocidad del centro de inercia del sistema.

     3°. Si el sistema no es cerrado, pero las fuerzas externas que actúan sobre él son tales que su momento resultante respecto de un punto fijo O son idénticamente iguales a cero (M^ext = 0), entonces, de acuerdo con las leyes de Newton (I.4.3.1°), el momento del impulso del sistema con relación a este mismo punto O no varía con el tiempo: L = const. Esta condición la cumple, por ejemplo, prácticamente el giróscopo equilibrado (I.4.3.2°) con tres grados de libertad cuyo momento de las fuerzas de rozamiento en la suspensión es bastante pequeno. Cualesquiera que sean los giros que se den al soporte de este giróscopo, que mantiene en reposo su centro de inercia, el eje del giróscopo conserva su orientación respecto del sistema inercial de referencia fijo. (Se supone que el vector L está dirigido según el eje del giróscopo. En el caso contrario el giróscopo libre efectúa una precesión regular: su eje describe una superficie cónica circular cuyo vértice se encuentra en el centro de suspensión, y el eje está dirigido a lo largo del vector L = const.)

     De ordinario M^ext 1 0 y L 1 const. Pero si el momento resultante de las fuerzas externas respecto de cualquier eje fijo que pase por el punto O es idénticamente igual a cero, el momento del impulso del sistema con relación a este mismo eje no varía con el tiempo. Por ejemplo, si M_z^ext  = 0, entonces L_z = const.

     En caso de que el sistema gire alrededor de un eje fijo OZ y el momento resultante de las fuerzas externas respecto de este eje M_z^ext  = 0, el momento del impulso del sistema respecto del eje de rotación no variará con el tiempo:

donde w y J_z son, respectivamente, la velocidad angular y el momento de inercia del sistema.

     Si bajo la acción de las fuerzas internas, y también de las externas, que satisfacen la condición M_z^ext  = 0, se deforma el sistema y su momento de inercia J_z varía, respectivamente aumenta o disminuye la velocidad angular w.

     4°. Se llaman ejes libres de un cuerpo, aquellos alrededor de los cuales el sólido libre (I.2.2.3°) puede girar con velocidad angular w constante en ausencia de toda clase de acciones externas. Esta rotación del cuerpo se dice que es inercial o libre. Los ejes libres de un cuerpo coinciden con sus ejes centrales principales de inercia (I.4.2.4°). En el caso general los valores J₁ , J₂ y J₃ de los momentos centrales principales de inercia del cuerpo (I.4.2.4°) son distintos. La rotación libre de un cuerpo de este tipo (por ejemplo, de un paralelepípedo rectangular homogéneo con aristas de distinta longitud) se efectúa en la práctica solamente alrededor de dos ejes libres, correspondientes a los valores extremos de los momentos centrales principales de inercia, es decir, al mayor y al menor. La rotación del cuerpo alrededor de su tercer eje central principal, correspondiente a un valor intermedio del momento de inercia, es inestable incluso acciones pequenas son capaces de provocar desviaciones importantes del eje instantáneo de rotación del cuerpo respecto de su dirección inicial en el mismo.

     Si los valores de dos momentos centrales principales de inercia de un cuerpo son iguales: J₁ = J₂ 1 J₃, la rotación libre y estable de este cuerpo (por ejemplo, de un cilindro circular homogéneo (sólo es posible alrededor del eje libre correspondiente al tercer valor, distinto de aquellos, del momento de inercia del cuerpo J₃. Para un cilindro circular homogéneo este eje libre es su eje de simetría. Pero si un cilindro largo y delgado se hace girar valiéndose de un hilo sujeto a su extremo, resultará ser estable la rotación del cilindro alrededor del eje libre correspondiente al valor mayor de su momento de inercia. Este eje libre es perpendicular al eje de simetría del cilindro.